微分方程
定义
1.含导数或者微分的方程叫微分方程： 2x+y=1 (X) ; dy/dx+xy=0 (√)
2.微分方程的解是，满足微分方程的函数：dy/dx-2y/x=0 , y=x^2,记住求解过程中，遇到定积分要注意隐含条件，典型f(x)=∫(0,x)g(x)dx ==> f(0)=0
3.微分方程的阶：微分方程中含有的微分或者导数的最高阶数
一阶微分方程的分类及对应解法
可分离变量的微分方程
1.定义：设dy/dx = f(x,y) ,如果有f(x,y)=g1(x)g2(y),那么称f(x,y)为可分离变量的微分方程
2.解法： dy/dx = g1(x)g2(y),必定有dy/g2(y)=g1(x)dx ,之后两边开积分就可以得到 ∫dy/g2(y) = ∫g1(x)dx +C (记得加c)
齐次微分方程
1.定义：设dy/dx = f(x,y) ,如果有f(x,y)=g1(y/x),那么称f(x,y)为齐次微分方程
2.解法：令y/x=u 那么有：dy/dx = u+xdu/dx ==> u+xdu/dx = g1(u),就变成了可分离变量的微分方程，求之
一阶齐次线性微分方程
1.定义：dy/dx+P(x)y=o ,这一类称为一阶齐次线性微分方程
2.解法：记住通解的公式 y=Ce^(-∫P(x)dx) [C为任意常数]
一阶非齐次线性微分方程
1.定义：dy/dx+P(x)y=Q(x) ,这一类称为一阶齐次线性微分方程
2.解法：记住通解的公式 y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) [C为任意常数]
可降阶的高阶微分方程
1.第一种情况：f(x)的n阶导数=f(x) (n>2)
2.第二种情况：f(x,y’,y’’)=0 (缺少y)
解法：令y’=p,有y’’=dp/dx, 就变成了f(x,p,dp/dx)=0,之后就回归到了可分离变量的微分方程
高阶线性微分方程
1.定义：
1.y’’+a(x)y’+b(x)y=0 (1),称为二阶齐次线性方程
2.y’’+a(x)y’+b(x)y=f(x) (2),称为二阶非齐次线性方程
若f(x)=f1(x)+f2(x);
3.y’’+a(x)y’+b(x)y=f1(x) (2)’
4.y’’+a(x)y’+b(x)y=f2(x) (2)’’
2.解的结构：
1.若g1(x),g2(x),…,gn(x)为(1)的解，那么k1g1(x)+k2g2(x)+…+kngn(x) 为(1)的解
2.若g1(x),g2(x),…,gn(x)为(2)的解，则
1.k1g1(x)+k2g2(x)+…+kngn(x) 为(1)的解 ==> k1+k2+…+kn=0;
2.k1g1(x)+k2g2(x)+…+kngn(x) 为(2)的解 ==> k1+k2+…+kn=1;
3.g1(x),g2(x)为(1),(2)的解，g1(x)+g2(x)为(2)的解
4.g1(x),g2(x)为(2)的解，g1(x)-g2(x)为(2)的解
5.g1(x),g2(x)为(2)’,(2)’’的解，g1(x)+g2(x)为(2)的解
二阶常系数齐次线性方程(特例)
1.定义：y’’+py’+qy=0 (1)
2.解法：特征方程化为：λ^2+pλ+q=0
1.若Δ>0,即λ1!=λ2，通解为：y=C1e^λ1x+C2e^λ2x
2.若Δ=0,即λ1=λ2，通解为：y=(C1+C2x)e^λ2x
2.若Δ<0,即λ1λ2=a+(-)bi，通解为：y=e^ax(C1cosbx+C2sinbx)
2.若y’’+py’+qy=f(x) (2), (2)的通解=(1)的通解+(2)的特解
3.(2)特解的问题：f(x)=e^Kx,这里的K
1.K=λ1 && K!=λ2,则(2)的特解设为Axe^Kx
2.K=λ1=λ2,则(2)的特解设为Ax^2e^Kx
3.K!=λ1 && K!=λ2,则(2)的特解设为Ae^Kx
