多元函数微分学

定义

极限

1.一元函数的极限：如果∀ε>0，∃δ>0,当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε时，称f(x)[x->x0]的极限为A
2.二元函数的极限：如果∀ε>0，∃δ>0,当0<√[(x-xo)^2+(y-y0)^2]<δ时，有|f(x,y)-A|<ε时，称f(x,y)[x->x0,y->y0]的极限为A

连续

1.一元函数的连续性：y=y(x) [x∈D] x0∈D; 有lim(x->x0)f(x)=f(x0)，称f(x)在x=x0处连续
2.二元函数的连续性：z=f(x,y) [(x,y)∈D] (x0,y0)∈D; 有lim(x->x0,y->y0)f(x,y)=f(x0,y0)，称f(x,y)在(x0,y0)处连续

偏导数

二元函数的偏导数：Z=f(x,y) [(x,y)∈D] (x0,y0)∈D
1.ΔZx=f(x0+Δx,yo)-f(x0,y0)[=f(x,y0)-f(x0,y0)] => f(x,y)在M0(x0,y0)处关于x的偏增量
2.ΔZy=f(x0,y0+Δy)-f(x0,y0)[=f(x0,y)-f(x0,y0)] => f(x,y)在M0(x0,y0)处关于y的偏增量
3.ΔZy=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)[=f(x,y)-f(x0,y0)] => f(x,y)在M0(x0,y0)处的全增量

可偏导是很差的条件，可微 ==> 可偏导，连续，反之都不成立

可全微

1.一元函数的可微性：y=y(x) [x∈D] x0∈D; Δy=f(x0+Δx)-f(x0)[=f(x)-f(x0)]
如果 Δy = AΔx+0(Δx)[=A(x-Δx)+0(x-x0)],称f(x)在x=x0处可微，AΔx=Adx = dy|x=x0
一元函数的注意点：
1.可导是可微的充分必要条件
2.Δy=AΔx+0(Δx) ==> A=f’(x0)
3.y=f(x)可导，dy = d f(x) = f’(x)dx ======
2.二元函数的可微性：Z=f(x,y) [x∈D] x0∈D; Δy=f(x0+Δx,y0+Δy)-f(x0,y0)[=f(x,y)-f(x0,y0)]
设p=√[(Δx)^2+(Δy)^2]如果 ΔZx = AΔx+BΔy+0(p),称f(x,y)在M0(x0,y0)处可微，AΔx+BΔy = Adx+Bdy = dZ|(x0,y0)
二元函数的注意点：
1.可偏导是很差的条件，可微 ==> 可偏导，连续，反之都不成立
2.ΔZx = AΔx+BΔy+0(p)，A=Z’x(x0,yo) B=Z’y(x0,y0)
3.记住几个反例 (连续不可偏导)：√[x^2+y^4] (可偏导不连续)：f(x,y)=[xy/(x)^2+(y)^2:(x,y)!=(0,0); 0:(x,y)=(0,0)]

求导

1.显函数求偏导：直接求，例子:Z=arctan(x+y)
2.复合函数求偏导：Z=f(x^2+y^2),方法，求就完事了
3.隐函数求偏导，分情况列举：
1.F(x,y)=0 ==> y=f(x)
2.F(x,y,z)=0 ==> z=z(x,y)
3.F(x,y,z)=0;G(x,y,z)=0 ==> y=f(x);z=z(x)
4.F(x,y,u,v)=0;G(x,y,,u,v)=0 ==> u=u(x,y);v=v(x,y)

多元函数微分学代数运用

一元函数的极值点

条件：y=f(x) x∈D
1.第一充分条件：
①[x<x0时，f’(x)<0] && [x>x0时，f’(x)>0] ==> x=x0为极小点
②[x<x0时，f’(x)>0] && [x>x0时，f’(x)<0] ==> x=x0为极大点
2.第二充分条件；(前提:f’(x0)=0）
①f’’(x0)>0 ==> x=x0 为极小点
②f’’(x0)<0 ==> x=x0 为极大点