高数二(第四弹)

单调性与极值方面的整理

极值点的充分条件

1.第一充分条件：
    - [f'(x)>0,x<x0] && [f'(x)<0,x>x0]  ==> x=x0是f(x)的极大点
    - [f'(x)<0,x<x0] && [f'(x)>0,x>x0]  ==> x=x0是f(x)的极小点  
2.第二充分条件:
    当f'(x0)=0时，
    - f''(x0)>0, x=x0是f(x)的极小点  
    - f''(x0)<0, x=x0是f(x)的极大点

凹凸函数的定义

1.凹函数    
    在f(x)∈c[a,b] (a,b)内可导,有 [(f(b)-f(a)]/2 > f[(a+b)/2],则称f(x)在[a,b]为凹
2.凸函数    
    在f(x)∈c[a,b] (a,b)内可导,有 [(f(b)-f(a)]/2 < f[(a+b)/2],则称f(x)在[a,b]为凸  
3.判别法  
    在f(x)∈c[a,b] (a,b)内二阶可导：  
        - f''(x)>0,在[a,b]上为凹函数
        - f''(x)<0,在[a,b]上为凸函数          
4.拐点  
    定义：x=x0两侧的凹凸性不相同,或者说 f''(x0)=0 && f'''(x0) != 0,则(x0,f(x0))称为f(x)的拐点  

渐近线

1.水平渐近线  
    f(x)>A (x->无穷) y=A 就是f(x)的水平渐近线  

2.铅直渐近线  
    铅直渐近线都是在f(x)的断点处,如果：
        f(x)=无穷 (x->x0) 或者 f(xo+0)=无穷 或者 f(x0-0)=无穷 那么, x=x0就是f(x)的铅直渐近线  

3.斜渐近线  
    如果 [f(x)/x]=a (x->无穷),[f(x)-ax]=b (x->无穷),则称y=ax+b 为f(x)的斜渐近线