中值定理的整理
罗尔中值定理 (Rolle)
- 三个条件：
1.f(x)∈c[a,b]
2.(a,b)上可导
3.f(a)=f(b)
由此可以得到:
在(a,b)之间一定存在一个值ξ,使得[f(b)-f(a)]/[b-a]=f’(ξ)=0
拉格朗日中值定理 （Lagrange）
- 两个条件：其实就是罗尔中值定理，就是L的一个特殊情况：
1.f(x)∈c[a,b]
2.(a,b)上可导
由此可以得到：
在(a,b)之间一定存在一个值ξ,使得[f(b)-f(a)]=f’(ξ)[b-a]
柯西中值定理
- 三个条件：
1.f(x),g(x)∈c[a,b]
2.(a,b)上可导
3.g'(x)!=0
由此可以得出：
在(a,b)之间一定存在一个值ξ,使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ) 基本的题型
- f(x)的n级导数=0
- 只有ξ一个字母，没有其他字母：
1.还原法,还原法有三个条件：
1.仅有ξ
2.两项(一般一个复杂，一个简单)
3.导数差一阶,例如f''(ξ) 和 f'(ξ)
方法就是凑：
工具是：f'(x)/f(x) = {ln[f(x)]}'
2.分组法：
1.三项，各差一阶 (把f'(x)当中间项来凑)
2.差二阶
例子：证明：在(a,b)之间一定存在一个值ξ,使得f''(ξ) = f'(ξ)
- 结论中含ξ，含a,b
1.ab和ξ可以分离
方法：1.ab和ξ分离
2.从a,b入手：f(b)-f(a)/b-a 用拉格朗日；f(b)-f(a)/g(b)-g(a) 用柯西
2.ab和ξ不可以分离 ：凑微法
- 结论中含有两个或者两个以上中值
1.结论中只含f'(ξ)和f'(η)
方法：找出第三个点,用两次拉格朗日中值定理
2.结论中只含两个中值ξ,η ,但是关于两个中值的项复杂度不同
方法：把ξ,η分开，方法必留复杂
()' 用两次拉格朗日中值定理 ()'/()' 用柯西
3.结论中只含ξ,η，不仅仅只包含f'(ξ)和f'(η)两者对应的项完全对等
方法：先就ξ构造一个辅助函数（还原法），在两次使用拉格朗日中值定理
