高数二(第二弹)

第一章知识点总结

断点相关

• 需要分左右的情形：
  1.arctan 1/(x-a) (x->0)
  2.1/x-a (x->a)
  3.x-a的绝对值
  这些需要分左右进行讨论

• 题目中如果有f(x)/x (x->0) = 一个常数
  那么 f(0) = 0;

• 2^x-1 不等价于x
  首先需要把底换成e，原式等于e^xln2-1 等价于xln2

• 麦克劳林公式整理
  1.使用麦克劳林公式时，x要趋于零
  2.常用分为以下几种：

    1.sinx = x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...+(-1)^n x^2n+1/(2n+1)! + 0(x^2n+1)  
    2.e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n! + 0(x^n)  
    3.cosx = 1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...+(-1)^n x^2n/2n! + 0(x^2n)  
    4.ln(1+x) = x-x^2/2!+x^3/3!+...+(-1)^(n-1) x^n/(n)! + 0(x^n)  
    5.(1+x)^a = 1+ax+a(a-1).x^2/2!+...+a(a-1)(a-2)...(a-n+1)x^n/n! + 0(x^n)  

• ln^nx = nlnx

• 1-cos^ax =ax^2/x

• 证明极限存在，证明有界和单调

• cos2x = 1- 2sin^2x

• f(x)为奇函数，那么f’(x)为偶函数

• 遇到 (ax+b)/(x-1)(x-2) 这种题目求f^(n)(x)
  要把原式化成A/(x-1)+B/(x-2) 求出AB，再求导数

总结常用初等函数的求导

• (tanx)’ = 1/cosx^2 = sec^2x
• (arctanx)’ = 1/(1+x^2)
• (arcsinx)’ = 1/(1+x^2)^(1/2)
• (arccosx)’ = -1/(1+x^2)^(1/2)
• tanx^2 = sec^2x-1

立方和

• x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)

立方差

• x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)

f(x)可导

代表f(x)可微，Δy = dy + 0(Δx);  
即 Δy-dy是Δx 的高阶无穷小

拆的原则

分子的精确度不低于分母的精确度