定积分的相关整理

概念相关

定积分的定义

y=f(x)在 [a,b]上有界:
1.将[a,b]分为无数个点：a=x0<x1<x2<…<xn=b,得 Δx=xi-x(i-1) i∈[1,n]
2.任意取 ζi∈[x(i-1),xi],做 ζ1Δx1+ζ2Δx2+…+ζiΔxi (其实就是f(x)在[a,b]上得面积)
3.令λ =max{Δx1,Δx2,…,Δxn},若λ->0时，面积存在，就称f(x)在[a,b]上可积，极限值称为f(x)得定积分，记作：∫(a,b)f(x)dx

定积分的说明

1.f(x)在[a,b]上有界时可积的必要条件，即有界不一定可积，可积一定有界 (证明相关的不整理)
2.定积分的一般性质：
1.加减乘除不写了
2.若f(x),|f(x)| 在[a,b]上可积，则有：∫(a,b)f(x)dx <= ∫(a,b)|f(x)|dx (有一些面积为负，会抵消)
3.f(x)>0，则∫(a,b)f(x)dx>0
4.f(x)>=g(x),则∫(a,b)f(x)dx >= ∫(a,b)g(x)dx
5.(重要的一塌糊涂，经常想不到)积分中值定理：f(x)∈c[a,b],则存在ζ∈[a,b],有∫(a,b)f(x)dx = f(ζ)(b-a)
@注意：2∫(0,1/2)f(x)dx 要想到积分中值定理

积分的基本定理

1.不定积分的本质是函数，定积分的本质是数
2.定积分与函数关系和上下限有关，与使用的积分变量无关
3.牛顿.莱布尼兹公式的证明，要会证明，即F(b)- F(a) = ∫(a,b)f(x)dx
4.几种基本的转换:
1.∫(-a,0) -> ∫(0,a) [x=-t];
2.∫(a,b) -> ∫(0,1) [x=a+(a-b)t]
3.∫(a,b) -> ∫(a,b) [x+t=b+a]
4.∫(π/2,π) -> ∫(0,π/2) [x-π/2=t]
5.重要定理：∫(0,π/2)(sinx)^ndx = ∫(0,π/2)(cosx)^ndx = In，有公式：
1.In = [(n-1)/n]I(n-2)
2.I1=1;I0=π/2
6.∫(0,π)f(sinx)dx = 2∫(0,π/2)f(sinx)dx
7.∫(0,π)f(|cosx|)dx = 2∫(0,π/2)f(cosx)dx
8.f(x)是以T为周期的连续函数，则：
1.∫(a,a+T)f(x)dx = ∫(0,T)f(x)dx
2.∫(0,nT)f(x)dx = n∫(0,T)f(x)dx

反常积分(广义积分)

1.正常积分：1.闭区间，区间有限；2.f(x)连续或者存在有限个第一间断点(可去，跳跃)
2.定义法不写了，判别法整理：
1.x^αf(x) (x->+∞) 若α>1 ,则收敛，反之发散，即不存在
2.(x-a)^αf(x) (x->a+) 若α<1 ,则收敛，反之发散，即不存在
3.(b-x)^αf(x) (x->b-) 若α<1 ,则收敛，反之发散，即不存在
3.Γ(n) = ∫(0,+∞)x^(n-1) e^(-x)dx,则有：
1.Γ(n+1)=nΓ(n)
2.Γ(n+1)=n!
3.Γ(1/2)=根号π

定积分的几何意义

几种常用的图形

1.x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) 星形线，则有：
x=a(cost)^3;y=a(sint)^3
2.(x^2+y^2)^2 = a^2(x^2-y^2) 双纽线，则有：
r^2=a^2 cos2t 补充：极坐标表面积=(1/2)∫(0,π/4)r^2dθ
3.摆线，方程为：
x=a(t-sint);y=1-cost
4.♥形线，方程为：r=a(1+cosθ)
相关的体积面积，都需要会写